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第3回 京都大学 − 稲盛財団合同京都賞シンポジウム2016.7.9-10
未来への窓 -バイオ・メディカルテクノロジー、数学、美術の眼を通して-(終了)

砂田 利一
数理科学分野

砂田 利一

明治大学総合数理学部 学部長

専門分野キーワード
離散幾何解析学、スペクトル幾何学、結晶デザイン

講演テーマTitle of Presentation

「数学の創造:数論から幾何学へ」

多角形の立体類似が多面体であり、正三角形と正方形の立体類似がそれぞれ正四面体と立方体であることは誰もが認めるだろう。このような、「次元」を変えた場合に図形の類似を考えることは、古代ギリシャに遡り、また他の文脈でも行われている。例えば、蜂の巣格子の立体類似はダイヤモンド格子であり、正三角格子の立体類似は、面心立方格子に付随するネットワークであるが、何故類似なのかを説明するには、被覆グラフの理論が必要になる。

実は、対称性の観点からは、蜂の巣格子の立体類似はもう1つある。蜂の巣格子とダイヤ格子は、特別な対称性(強等方性)を有しており、これを同じ対称性を持つものは「ダイヤモンドの双子」とよばれる仮想的結晶構造である。1923 年にドイツの結晶学者F. Laves が発見したこの構造が、蜂の巣の立体類似であり、ダイヤモンド格子以外にはこれしかないことが2006 年に講演者により明らかにされた。

歴史を振り返れば、ヒルベルト・高木の類体論は、リーマン面の被覆理論と体の拡大理論の間の類似から生まれた。数体の拡大理論とリーマン多様体の被覆理論の類似から、講演者により等スペクトル多様体の一般的構成法が発見され、「太鼓の形は聞き分けられるか?」というM. Kacの問題への反例作りに貢献した(C. Gordon, D. Webb, and S. Wolpert)。リーマン・ゼータ関数の幾何学的類似はセルバーグ・ゼータであり、そのグラフ理論的類似が伊原ゼータである。セルバーグ・ゼータに対するリーマン予想の類似は、リーマン面上の固有値の性質と関係があり、伊原ゼータがリーマン予想の類似を満たすグラフは、経済的かつ効率的ネットワークのモデルとなっている。素数分布に関連する素数定理とディリクレの算術級数定理は、アノソフ力学系の周期軌道の漸近挙動に類似を持つ。

さらに、数論における「クロネッカーの青春の夢」はグラフ理論的類似を有する。この「夢」は、解の公式を持つ代数方程式に関するアーベルの研究を嚆矢とし、体のアーベル拡大の具体的構成問題に関連する。その類似は、結晶構造の標準的デザインに応用され、さらに代数曲線に付随するアーベル・ヤコビ写像の離散類似に関連しているのである。従って、元来のクロネッカーの夢は完全には解決されていないのだが、その幾何学的類似は解決されたことになる。

本講演では、数論と幾何学の類似追及が契機となった講演者自身の研究を振り返りながら、数学がどのようにして創られるのかについて解説する。

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プロフィールProfile

簡単な履歴

1948年9月7日東京生まれ、現在、明治大学教授、東北大学名誉教授、明治大学先端数理科学インスティチュート(MIMS) 副所長、東北大学原子分子材料科学高等研究機構(WPI-AIMR)連携教授。

1972年に東京工業大学卒業後、東京大学大学院理学研究科(修士課程)に進学し、伊勢幹夫教授の下で研究。修士号を獲得した後、名古屋大学の助手となり、15 年間に講師、助教授、教授に昇格。2003年に明治大学に移る前に、東京大学教授(1991-1993)、東北大学教授(1993-2003)を歴任。この間に、ボン大学客員研究員(1979-1981)、パリの高等科学研究所客員教授(1986)、タタ研究所客員教授(1990)、ボンのマックス・プランク研究所客員教授(2008)、ケンブリッジ大学ニュートン研究所客員フェロー(2015)として研究を行った。明治大学では新学部(総合数理学部)の設立に係り、2013年以降学部長に職にある。

ヨーロッパ科学評議会専門委員、IMU(International Mathematical Union)小委員会委員、京都賞基礎科学部門専門委員、財団法人数理科学振興会評議員、日本数学会理事、岩波数学講座編集委員、岩波講座「物理の世界」編集委員、雑誌「数学のたのしみ」(日本評論社発行・亀書房企画制作)の編集委員などを歴任。

専門は多岐に渡り、これまで複素解析(有界領域、正則写像)、リーマン幾何学(調和写像)スペクトル幾何学、力学系(アノソフ系の周期起動)、伊原ゼータ関数、数理物理(量子エルゴード性、量子ウォーク)、確率論(ランダム・ウォークの漸近理論)、グラフ理論、結晶理論(結晶デザイン)の研究を行ってきた。

主な受賞・栄誉等
主な論文・著作等

T. Sunada, Topological Crystallography - with a view towards Discrete Geometric Analysis -, Springer, 2012.

K. Shiga and T. Sunada, A Mathematical Gift, III, originally published in Japanese in 1996 by Iwanami Shoten, and translated by E. Tyler, Amer. Math. Soc., 2005.

T. Sunada, Discrete geometric analysis, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (ed. by P. Exner, J. P. Keating, P. Kuchment, T. Sunada, A. Teplyaev), 77 (2008), 51-86.

T. Sunada, Crystals that nature might miss creating, Notices of the AMS, 55 (2008), 208-215.

M. Kotani and T. Sunada, Albanese maps and off diagonal long time asymptotics for the heat kernel, Commun. Math Phys., 209 (2000), 633-670.

T. Sunada, Trace formulae in spectral geometry, Proc. ICM-90 Kyoto, Springer, 1991, 577-585.

T. Sunada and A. Katsuda, Closed orbits in homology classes, Publ. IHES. 71 (1990), 5-32.

T. Sunada, Riemannian coverings and isospectral manifolds, Ann. of Math. 121 (1985), 169-186.

J. Noguchi and T. Sunada, Finiteness of the family of rational and meromorphic mappings into algebraic varieties, Amer. J. Math. 104 (1982), 887-900.

T. Sunada, Holomorphic equivalence problem for bounded Reinhardt domains, Math. Ann. 235 (1978), 111-128.

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