トポロジーが記述するビッグデータのかたち

現代社会にはデータが氾濫していますが、人工知能のブラックボックス問題に見られるように、それらが持つ真の価値を十分に活用できていません。このようなビッグデータを有効利用するには、適切な数学言語でデータの本質となる構造を記述し、その記述言語を用いてデータを生み出す現象の背後にある機構に意味を与え理解するプロセスが不可欠です。この問題に対して、図形を研究する数学分野の一つであるトポロジーをデータ解析に応用する「トポロジカルデータ解析」が近年盛んに研究されています。トポロジーでは連続変形で保たれる構造に着目しますが、この性質がビッグデータ解析ではデータの粗視化や複雑構造の記述などに利用されています。「Data has shape, shape has meaning, meaning drives value」をスローガンに急速に発展するトポロジカルデータ解析を、材料科学や生命科学への応用例も交えながら紹介してみます。

コホモロジー理論の広がり

多様体（空間や図形）の性質を調べるのが幾何学の目標です。高校までの幾何学では「長さ」「面積」「角度」などの量（不変量）に着目しましたが、それ以外にも調べたい性質に適した不変量があります。不変量は「長さ」などの代わりに観測すべき量でもありますが、一方で不変量を通じて多様体の性質を調べるという意味では顕微鏡や望遠鏡のような観測機器ともいえます。そのように見た場合、観測の性能を挙げていくことも大事な目標になります。

重要な不変量の一つに「コホモロジー」があります。もともとは位相的な性質を調べる不変量である「ホモロジー」の双対として見出されましたが、多様体の解析的な性質も反映しています。特に代数多様体の面白い性質をとらえるために、コホモロジー理論はさまざまな変種に拡張・精密化されています。そして、その研究の流れの一つが、D加群への拡張やホッジ構造・ツイスター構造による精密化を経てツイスターD加群というものにたどりつきます。この講演では、このようなコホモロジー理論の広がりの一端について紹介します。

ミクロとマクロをつなぐ数学「離散幾何解析」

数学は我々の宇宙を記述する共通言語として長い歴史のなかで科学の発展に貢献してきました。特に自然界の形や動きを表す数理モデルを提唱し、必要な数学を開発してきました。我々の知識や興味が広がり、新しい科学が生まれるたびに、同時に数学は発展する機会を与えられ進化してきました。

近年、観測・計測技術が高度になるにつれ、我々が普段目にする物質は原子という非常に小さい単位からなり、この原子たちがお互いに相互作用で結びついてネットワークを形成する。更にネットワークのネットワークがより複雑な微視世界を形作り、これらがその物質のもつ性質を決定しているということが明らかになってきました。このようなことから、微視的な世界と我々が日常目にし、手に取る物質の巨視的な性質の間の関係を理解するための数学の必要性が高まりました。離散幾何解析は、このような階層的なネットワークおよび階層間の関係を明らかにする幾何を扱います。本日の講演では、具体的な例を示しながら、離散幾何解析の挑戦についてお話しします。